Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1．
（1）求證：CN∥平面AMD；
（2）求該幾何體的體積．

Answer 1

分析：（1）證明BC∥平面AMD，NB∥平面AMD，然后證明CN∥平面AMD．
（2）連接AC、BD，交于O點．說明AO⊥平面MDBN，求出底面矩形NDBN的面積S，四棱錐A-MDBN的體積V，即可求解該幾何體的體積．

解答：解：（1）證明：∵ABCD是正方形，BC∥AD，∴BC∥平面AMD，
又MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB，∴NB∥平面AMD，
所以平面BNC∥平面AMD，故CN∥平面AMD．
（2）解：連接AC、BD，交于O點．
∵ABCD是正方形，∴AO⊥BD，
又NB⊥平面ABCD，AO⊥NB，
∴AO⊥平面MDBN，
因為矩形NDBN的面積S=MD×BD=

2

．
所以四棱錐A-MDBN的體積V=

1

3

×S•AO=

1

3

，
同理四棱錐C-MDBN的體積為

1

3

，
故該幾何體的體積為

2

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明方法，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力計算能力．