如圖所示，已知圓C：(x＋1)2＋y2＝8，定點(diǎn)A(1，0)，M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足的軌跡為曲線E．

(1)求曲線E的方程；

(2)過點(diǎn)且斜率為k的動(dòng)直線l交曲線E于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)G，滿足使四邊形NAPB為矩形？若存在，求出G的坐標(biāo)和四邊形NAPB面積的最大值；若不存在，說明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)

　　∴NP為AM的垂直平分線，∴|NA|＝|NM|　　2分

　　又

　　∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C(－1，0)，A(1，0)為焦點(diǎn)的橢圓．

　　且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為焦距2c＝2．　　4分

　　∴曲線E的方程為　　5分

　　(2)動(dòng)直線的方程為：

　　由得

　　設(shè)

　　則　　6分

　　假設(shè)在y上存在定點(diǎn)G(0，m)，滿足題設(shè)，則

　　

　　由假設(shè)得對(duì)于任意的恒成立，

　　即解得m＝1．

　　因此，在y軸上存在定點(diǎn)G，使得以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0，1)　　9分

　　這時(shí)，點(diǎn)G到AB的距離

　　

　　設(shè)則

　　得

　　所以

　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立．

　　因此，面積的最大值是　　12分


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知圓C：（x+1）2+y2=8，定點(diǎn)A（1，0），M為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AM上，點(diǎn)N在線段CM上，且滿足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若過定點(diǎn)F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H（點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間），且滿足
FG
=λ
FH
，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理）如圖所示，已知圓C：（x+1）2+y2=8，定點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）過點(diǎn)S（0，
1
3
）且斜率為k的動(dòng)直線l交曲線E于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)G，滿足
GP
=
GA
+
GB
使四邊形NAPB為矩形？若存在，求出G的坐標(biāo)和四邊形NAPB面積的最大值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知圓C：（x+1）2+y2=8，定點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足AM=2AP，NP⊥AM，點(diǎn)N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若過定點(diǎn)F（0，2）的直線l交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H（點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間），且滿足FG=
1
2
FH，求直線l的方程；
（3）設(shè)曲線E的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交曲線于Q，S兩點(diǎn)，過F2的直線交曲線于R，T兩點(diǎn)，且QS⊥RT，垂足為W；
（ⅰ）設(shè)W（x0，y0），證明：
x
2
0
2
+
y
2
0
＜1；
（ⅱ）求四邊形QRST的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2006•石景山區(qū)一模）如圖所示，已知圓C：（x+1）2+y2=8，定點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E．
（Ⅰ） 求曲線E的方程；
（Ⅱ） 若點(diǎn)B1（x1，y1），B2（-1，y2），B3（x3，y3）在曲線E上，線段B1B3的垂直平分線為直線l，且|B1A|，|B2A|，|B3A|成等差數(shù)列，求x1+x3的值，并證明直線l過定點(diǎn)；
（Ⅲ）若過定點(diǎn)F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H（點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間），且滿足
FG
=λ
FH
，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知圓C：（x+1）2+y2=8，定點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，點(diǎn)N的軌跡方程是（　�。�
A、
x2
2
+y2=1
B、
x2
2
-y2=1
C、x2+
y2
2
=1
D、x2-
y2
2
=1

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