Question

如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，E為BC的中點，若F為正方形內(nèi)（含邊界）任意一點，則

AE

•

AF

的最大值為

 

．

Answer 1

分析：先設(shè)出點A以及點F的坐標(biāo)，求出其它各點的坐標(biāo)，并利用點的坐標(biāo)表示出

AE

•

AF

，把所求問題轉(zhuǎn)化為在平面區(qū)域內(nèi)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題求解即可．

解答：解；可設(shè)點A（0，0），則B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（1，

1

2

），
設(shè)F（x，y），則

0≤x≤1 0≤y≤1

，對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
因為

AE

=（1，

1

2

），

AF

=（x，y）．
所以

AE

•

AF

=x+

1

2

y．
借助于圖象得當(dāng)x+

1

2

y過點C（1，1）時取最大值，此時x+

1

2

y=

3

2

．
故答案為

3

2

．

點評：本題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是對基礎(chǔ)知識和基本思想的考查，屬于基礎(chǔ)題．