Question

定義[x]：表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，如[π]=3，，[-1.09]=-2，并定義{x}=x-[x]．如{3.14}=0.14，{-1.01}=0.99，有以下命題：
①函數(shù)y={x}的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，1]；
②方程{x}=

1

2

有無(wú)數(shù)多個(gè)解；
③函數(shù)y={x}為周期函數(shù)；
④關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程ln²x-[lnx]-2=0的解有3個(gè)．
其中你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)為

②③④

．

Answer 1

分析：要使解析式有意義，得出函數(shù){x}的定義域?yàn)镽，由周期函數(shù)的定義證明此函數(shù)為周期函數(shù)，故只需求出一個(gè)周期的上的值域，即為整個(gè)函數(shù)的值域，把方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題．

解答：解：∵函數(shù){x}的定義域?yàn)镽，又∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，
∴函數(shù){x}=x-[x]是周期為1的函數(shù)，∴③是正確的，
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函數(shù){x}的值域?yàn)閇0，1），∴①錯(cuò)誤，
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，{x}=

1

2

，又∵函數(shù){x}=x-[x]是周期為1的函數(shù)，∴x=

1

2

+k時(shí)（k∈Z），{x}=

1

2

∴②是正確的，
對(duì)于④令lnx=t，則方程的解的個(gè)數(shù)等價(jià)于[t]=t²-2，在同一個(gè)坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=[t]，和y=t²-2的圖象，
它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就是原方程解的個(gè)數(shù)，由圖可知交點(diǎn)為A、B、C，即個(gè)數(shù)為3，∴④是正確的．
故答案為②③④．

點(diǎn)評(píng)：此題是自定義一個(gè)函數(shù)，求函數(shù)的性質(zhì)，找出準(zhǔn)確的切入點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．