Question

某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P（mg/L）與時間t（小時）間的關(guān)系為P=P₀e^-kt．如果在前5個小時消除了10%的污染物，試求：
（1）10個小時后還剩百分之幾的污染物？
（2）污染物減少50%所需要的時間．（參考數(shù)據(jù)：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6）

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由5小時后剩留的污染物列等式求出P=P₀e^-kt中k的值，得到具體關(guān)系式后代t=10求得10個小時后還剩污染物的百分數(shù)；
（2）由污染物減少50%，即P=50%P₀列等式50%P0=P0e(

1

5

ln0.9)t求解污染物減少50%所需要的時間．

解答： 解：（1）由P=P₀e^-kt，可知，當t=0時，P=P₀；
當t=5時，P=（1-10%）P₀．于是有
(1-10%)P0=P0e-5k，解得k=-

1

5

ln0.9，那么P=P0e(

1

5

ln0.9)t，
∴當t=10時，P=P0e(

1

5

ln0.9)×10=P0eln0.81=81%P₀．
∴10個小時后還剩81%的污染物；
（2）當P=50%P₀時，有50%P0=P0e(

1

5

ln0.9)t，
解得t=

ln0.5

1 5 ln0.9

=

5ln 1 2

ln 9 10

=5•

-ln2

ln9-ln10

=5•

ln2

ln2+ln5-2ln3

=35．
∴污染物減少50%所需要的時間為35個小時．

點評：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，關(guān)鍵是對題意的理解，由題意正確列出相應(yīng)的等式，考查了計算能力，是中檔題．