Question

已知函數(shù)f(x)＝2ax－－(2＋a)lnx(a≥0)

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，討論的單調(diào)性；

(Ⅲ）若對(duì)任意的a∈(2,3)，x­₁,x₂∈[1,3]，恒有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的極大值為，無極小值；（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；③當(dāng)時(shí)，在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù) ； (Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的極值，首先確定函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032604511337909428/SYS201403260451549883148543_DA.files/image015.png">，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的極值；（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，討論的單調(diào)性，首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)，并分解得，再進(jìn)行分類討論，利用，確定函數(shù)單調(diào)減區(qū)間；，確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（Ⅲ）若對(duì)任意的a∈(2, 3)，x­₁, x₂∈[1, 3]，恒有成立，只要求出的最大值即可，因此確定函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得的最大值與最小值，從而得，進(jìn)而利用分離參數(shù)法，可得，從而可求實(shí)數(shù)的取值范圍

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，     2分

由,解得 ，可知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)     4分

∴的極大值為，無極小值                    5分

（Ⅱ），

①當(dāng)時(shí)，在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；   7分

②當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；                       8分

③當(dāng)時(shí)，在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)  9分

(Ⅲ）當(dāng)時(shí)，由（2）可知在上是增函數(shù)，

∴                10分

由對(duì)任意的a∈(2, 3)，x­₁, x₂∈[1, 3]恒成立，

∴                         11分

即對(duì)任意恒成立，

即對(duì)任意恒成立，                          12分

由于當(dāng)時(shí)，，∴             14分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件