Question

若不等式kx²-kx-1＜0的解是全體實數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是

（-4，0]

．

Answer 1

分析：先分類討論：當k=0，有-1＜0恒成立；當k≠0，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解，令y=kx²-kx-1，要y＜0恒成立，則開口向下，拋物線與x軸沒公共點，即k＜0，且△＜0，解不等式即可得到k的取值范圍；最后取兩者之并即可．

解答：解：當k=0，有-1＜0恒成立；
當k≠0，令y=kx²-kx-1，
∵y＜0恒成立，
∴拋物線y=kx²-kx-1開口向下，且與x軸沒公共點，
∴k＜0，且△=k²+4k＜0，
解得-4＜k＜0；
綜上所述，k的取值范圍為-4＜k≤0．
故答案為：（-4，0]．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，著重考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，同時考查了分類討論思想的運用和轉(zhuǎn)化思想，易錯點在于忽略當k=0的情形，屬于中檔題．