Question

[x]表示不超過x的最大整數(shù)，正項數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，

a 2 n a 2 n-1

a 2 n-1 - a 2 n

=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）求證：a22+ a32 +…an2＞

1

2

[log2n] (n＞2)；
（3）已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求證：當n＞2時，有Sn2+

1

2

＜2(

S1

1

+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)+log2an．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)

an2an-12

an-12-an2

=1，取其倒數(shù)，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）

a

2 2

+

a

2 3

+…+

a

2 n

=

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，設(shè)n-1=1+2+…+2^m+k，其中k，m∈N且0≤k＜2^m+1，則

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

1

2

(m+1)，又2^m+1≤n=2^m+1+k＜2^m+2，從而m+1≤log₂n＜m+2，故可得證．
（3）Sn-

1

n

=Sn-1兩邊平方，并整理可得：當n＞2時，Sn2-Sn-12=

2Sn

n

-

1

n

．又Sn-12-Sn-22=

2Sn-1

n-1

-

1

n-1

，…，S22-S12=

2S2

2

-

1

2

，累加得：Sn2-1=2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)-(

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)，利用（2）結(jié)論可得Sn2-1＜2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)-

1

2

[log2n]，所以Sn2+

1

2

＜2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)-

1

2

(1+[log2n])，從而問題可證．

解答：（1）解：∵

an2an-12

an-12-an2

=1
∴

1

a 2 n

-

1

a 2 n-1

=1
∵

1

a12

=1
∴{

1

an2

}是以1為首項1為公差的等差數(shù)列
∴

1

an2

=n
∴an=

1

n

；
（2）證明：

a

2 2

+

a

2 3

+…+

a

2 n

=

1

2

+

1

3

+…+

1

n

1

2

=

1

2

，

1

3

+

1

4

＞

1

22

+

1

22

=

1

2

，…，

1

9

+

1

10

+…+

1

16

＞

1

24

+

1

24

+…+

1

24

=

1

2

設(shè)n-1=1+2+…+2^m+k，其中k，m∈N且0≤k＜2^m+1
則

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

1

2

(m+1)
又2^m+1≤n=2^m+1+k＜2^m+2
從而m+1≤log₂n＜m+2
∴[log₂n]=m+1
所以

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

1

2

[log2n]
∴a22+ a32 +…an2＞

1

2

[log2n] (n＞2)；
（3）證明：∵an=

1

n

∴Sn-

1

n

=Sn-1
∴Sn-12=Sn2-

2Sn

n

+

1

n

∴當n＞2時，Sn2-Sn-12=

2Sn

n

-

1

n

Sn-12-Sn-22=

2Sn-1

n-1

-

1

n-1

…
S22-S12=

2S2

2

-

1

2

累加得：Sn2-1=2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)-(

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)
由（2）結(jié)論有Sn2-1＜2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)-

1

2

[log2n]
∴Sn2+

1

2

＜2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)-

1

2

(1+[log2n])
＜ 2(

S1

1

+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)-

1

2

log2n
=2(

S1

1

+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)+log2an

點評：本題以數(shù)列的遞推式為載體，考查數(shù)列的通項，考查不等式的證明，考查累加法求和，同時考查新定義的理解，屬于中檔題