Question

2008年奧運(yùn)會(huì)的一套吉祥物有五個(gè)，分別命名：“貝貝”、“晶晶”、“歡歡”、“迎迎”和“妮妮”，稱“奧運(yùn)福娃”．甲、乙兩位小學(xué)生各有一套吉祥物，現(xiàn)以投擲一個(gè)骰子的方式進(jìn)行游戲，規(guī)則如下：當(dāng)出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，甲將贏得乙一個(gè)福娃；否則乙贏得甲一個(gè)福娃．現(xiàn)規(guī)定擲骰子的總次數(shù)達(dá)9次時(shí)，或在此前某學(xué)生已贏得所有福娃時(shí)游戲終止，記游戲終止時(shí)投擲骰子的總次數(shù)為ξ．
（1）求擲骰子的次數(shù)為7的概率；
（2）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）首先可以分析得到甲贏或乙贏的概率均為

1

2

，若第7次甲贏意味著“第七次甲贏，前6次贏5次，但根據(jù)規(guī)則，前5次中必輸1次”．若乙贏同樣．故可根據(jù)二項(xiàng)分布列出式子求解即可．
（2）可以設(shè)奇數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為m，偶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為n．然后根據(jù)題意列出關(guān)系式，求出可能的m n的值又ξ=m+n，求出ξ的可能取值，然后分別求出概率即可得到ξ的分布列，再根據(jù)期望公式求得Eξ即可．

解答：解：（1）當(dāng)ξ=7時(shí)，若甲贏意味著“第七次甲贏，前6次贏5次，
但根據(jù)規(guī)則，前5次中必輸1次”，由規(guī)則，每次甲贏或乙贏的概率均為

1

2

，
因此P（ξ=7）=2

C

1 5

（

1

2

）•（

1

2

）⁴•

1

2

•

1

2

=

5

64

．
（2）設(shè)游戲終止時(shí)骰子向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為m，
向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為n，
則由

|m-n|=5 m+n=ξ 1≤ξ≤9

，可得：
當(dāng)m=5，n=0或m=0，n=5時(shí)，ξ=5；
當(dāng)m=6n=1或m=1，n=6時(shí)，ξ=7
當(dāng)m=7，n=2或m=2，n=7時(shí)，ξ=9．
因此ξ的可能取值是5、7、9
每次投擲甲贏得乙一個(gè)福娃與乙贏得甲一個(gè)福娃的可能性相同，其概率都是

3

6

=

1

2

．
P（ξ=5）=2×（

1

2

）⁵=

1

16

，P（ξ=7）=

5

64

，P（ξ=9）=1-

1

16

-

5

64

=

55

64

所以ξ的分布列是：

ξ	5	7	9
P	1 16	5 64	55 64

故Eξ=5×

1

16

+7×

5

64

+9×

55

64

=

275

32

．

點(diǎn)評：此題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望的求法，其中涉及到實(shí)際應(yīng)用問題，對學(xué)生靈活應(yīng)用能力要求較高．這類題型在高考中的比重日益增加，同學(xué)們要多加注意．