Question

已知f(x)=loga

1+x

1-x

(其中a＞0且a≠1)，定義域為（-1，1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）函數(shù)f（x）的零點是否存在？若存在，試求出其零點；若不存在，請說明理由．
（3）討論f（x）函數(shù)的單調性．

Answer 1

（1）∵函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），它關于原點對稱，
又f（-x）=loga

1-x

1+x

=loga(

1+x

1-x

)-1=-loga

1+x

1-x

=-f（x），
所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）令f（x）=loga

1+x

1-x

=0?

1+x

1-x

=1?1+x=1-x?x=0，
又0∈（-1，1），
故f（x）有零點0；
（3）設-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=loga

1+x1

1-x1

-loga

1+x2

1-x2

=loga(

1-x2

1-x1

•

1+x1

1+x2

)，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴0＜1-x₂＜1-x₁＜2，0＜1+x₁＜1+x₂＜2，
∴0＜

1-x2

1-x1

＜1，0＜

1+x1

1+x2

＜1，
∴0＜

1-x2

1-x1

•

1+x1

1+x2

＜1，
當0＜a＜1時，f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函數(shù)f（x）是在定義域上減函數(shù)．                    
當a＞1時，f（x₁）-f（x₂）＜0，函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)．