Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=x²|x-a|（a∈R）．
（1）判定f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）當a≠0時，是否存在一點M（t，0），使f（x）的圖象關于點M對稱，并說明理由．

Answer 1

解：（1）a=0時，f（x）為偶函數(shù)；a≠0時，f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（2）不存在．
假設存在一點M₀（t₀，0）使f（x）的圖象關于點M對稱，
則對x∈R應恒有f（t₀+x）=-f（t₀-x）．
當t₀=a時，取x=a，
則f（2a）=-f（0）=0，∴4a²|a|=0，∴a=0這與a≠0矛盾．當t₀≠a時，
取x=a-t₀，
則f（a）=-f（2t₀-a）=0．∴（2t₀-a）²|2t₀-2a|=0，∵2t₀-2a≠0，∴．而時，取x=0，
則即．∴這也與已知矛盾．
綜上，不存在這樣的點M．
分析：（1）根據(jù)f（x）=x²|x-a|（a∈R），可對a分類討論，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷；
（2）可假設存在一點M（t₀，0）使f（x）的圖象關于點M對稱，故f（t₀+x）=-f（t₀-x）；
分當t₀=a時，取x=a，有f（2a）=-f（0）=0，從而可得a=0，導出矛盾；
當t₀≠a時，取x=a-t₀，f（a）=-f（2t₀-a）=0，可解得，再取x=0，從而可得a=0，導出矛盾；于是可得結論．
點評：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，難點在于對假設存在一點M₀（t₀，0）使f（x）的圖象關于點M對稱，得到f（t₀+x）=-f（t₀-x）后，對t₀分t₀=a與t₀≠a時的討論分析，考查學生的分析與轉化能力，屬于難題．