如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC=10，BD=6，M、N分別為AB、CD的中點，MN=7，求異面直線AC和BD所成的角．

 

答案：
解析：

解：如圖所示，取AD的中點為P，

∵M、N分別為AB、CD中點，

∴PM∥BD，PN∥AC．

∴異面直線AC和BD所成的角為∠MPN(或它的補角)．

∵AC=10，BD=6，MN=7，

∴PN=AC=5，PM=BD=3．

在△PMN中,由余弦定理知

 

cosMPN==-

則cosa=,a∈(0,],a=60°,

故AC和BD所成的角為60°．

點評：求兩條異面直線所成的角的一般步驟是：

(1)構(gòu)造：根據(jù)異面直線定義，用平移法作出異面直線所成的角；

(2)認定：證明作出的角就是要求的角；

(3)計算：求角值，常利用三角形；

(4)結(jié)論．

 


練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖，空間四邊形ABCD中，M、G分別是BC、CD的中點，則
AB
+
1
2
BC
+
1
2
BD
等（　�。�
A、
AD
B、
GA
C、
AG
D、
MG

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如圖，空間四邊形ABCD的對棱AD、BC成60°的角，且AD=BC=4，平行于AD與BC的截面分別交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H．
（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；
（2）E在AB的何處時截面EFGH的面積最大？最大面積是多少？

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精英家教網(wǎng)如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點．
（1）求證：四邊形EGGH是平行四邊形．
（2）求證：EF∥平面ADC．

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如圖，空間四邊形ABCD中，AB、BC、CD的中點分別是P、Q、R，且PQ=
3
，QR=1，PR=2，那么異面直線BD和PR所成的角是（　�。�

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如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別在BC、CD上，且BG：GC=DH：HC=1：2
（1）求證：E、F、G、H四點共面．
（2）設(shè)EG與HF交于點P，求證：P、A、C三點共線．

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