Question

下列四個(gè)關(guān)于函數(shù)f（x）命題：①如果函數(shù)f（x）是增函數(shù)，則方程f（x）=0一定有解；②如果函數(shù)f（x）是減函數(shù)，則方程f（x）=0至多有一個(gè)解；③如果函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，則方程f（x）=0一定有偶數(shù)個(gè)解；④如果函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且方程f（x）=1有解，則方程f（x）=-1也有解；其中正確的命題是：________．

Answer 1

②④
分析：①可舉反例，說(shuō)明不正確
②結(jié)合減函數(shù)圖象特征，進(jìn)行判斷
③結(jié)合偶函數(shù)的定義，進(jìn)行判斷
④結(jié)合奇函數(shù)的定義，進(jìn)行判斷
解答：①如果函數(shù)f（x）是增函數(shù)，其圖象上升，但未必與x軸相交，即方程f（x）=0不一定有解，比如：函數(shù)y=x，（x＞0）．①不正確
②如果函數(shù)f（x）是減函數(shù)，其圖象下降，與x軸至多相交于一點(diǎn)，不會(huì)多于兩點(diǎn)，否則與單調(diào)性矛盾．②正確
③如果函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且x₀（≠0）是方程f（x）=0的解，即f（x₀）=0，則f（-x₀）=f（x₀）=0，∴-x₀也是方程f（x）=0的解，
特殊的若還有f（0）=0，則方程f（x）=0有奇數(shù)個(gè)解 ③不正確；
④如果函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且方程f（x）=1有解，不妨設(shè)x=x₀，則f（-x₀）=-f（x₀）=-1，∴方程f（x）=-1也有解-x₀．④正確
故答案為：②④．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性，奇偶性，及其圖象的特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．