Question

已知x=

2

是函數(shù)f（x）=

(x2-2ax)ex，x＞0 bx，       x≤0

的極值點(diǎn)．
（1）當(dāng)b≠0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)b∈R時(shí)，函數(shù)y=f（x）-m有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x．由f′(

2

)=0，解得a=1．由此能夠得到當(dāng)b≠0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）當(dāng)x∈（0，

2

）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，f（x）∈（(2-2

2

)e

2

，0），當(dāng)x∈(

2

，+∞)時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，f（x）∈（（2-2

2

）e

2

，+∞）．要使函數(shù)y=f（x）-m有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（x²-2ax）e^x，
∴f′（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x
=[x²+2（1-a）x-2a]e^x．
由已知得，f′(

2

)=0，∴2+2

2

-2a-2

2

a=0，解得a=1．…（3分）
∴f（x）=（x²-2x）e^x，∴f′（x）=（x²-2）e^x．
當(dāng)x∈（0，

2

）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（

2

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．又f（0）=0，
所以當(dāng)b＜0時(shí)，f（x）在（-∞，

2

）上單調(diào)遞減，（

2

，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)b＞0時(shí)，f（x）在（-∞，0），（

2

，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，

2

）上單調(diào)遞減． …（7分）
（2）由（1）知，當(dāng)x∈（0，

2

）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，f（x）∈（(2-2

2

)e

2

，0），
當(dāng)x∈(

2

，+∞)時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，f（x）∈（（2-2

2

）e

2

，+∞）．…（9分）
要使函數(shù)y=f（x）-m有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
①當(dāng)b＞0時(shí)，m=0或m=（2-

2

）e

2

；
②當(dāng)b=0時(shí)，m∈（（2-2

2

）e

2

，0）；
 ③當(dāng)b＜0時(shí)，m∈（（2-2

2

）e

2

，+∞）．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．