Question

（理科）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記，若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，求a的值；
（3）在滿足（2）的條件下，記，設(shè)數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知條件中數(shù)列的前n項(xiàng)和與項(xiàng)的遞推關(guān)系，通過仿寫得到另一個(gè)等式，兩個(gè)式子相減得到數(shù)列的項(xiàng)間的遞推關(guān)系，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）將（1）中求出的項(xiàng)代入已知等式得到b_n，求出數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)，利用等比數(shù)列前三項(xiàng)成等比數(shù)列，列出方程求出a的值，將a的值代入通項(xiàng)檢驗(yàn)．
（3）求出通項(xiàng)C_n，利用放縮法將通項(xiàng)放縮得到一個(gè)等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出前n項(xiàng)和，不等式得證．
解答：解：（1）由（a-1）S_n=aa_n-a    ①
當(dāng)n≥2時(shí)，（a-1）S_n-1=aa_n-1-a     ②
由①-②得n≥2時(shí)，（a-1）a_n=aa_n-aa_n-1即a_n=aa_n-1
又a₁=a≠0
∴數(shù)列{a_n}是以a為首項(xiàng)，a為公比的等比數(shù)列
∴a_n=aⁿ
（2）

又b₂²=b₁•b₃得（3a+2）²=3（3a²+2a+2）解得
又時(shí)，顯然為等比數(shù)列
故
（3）由（2）得=
又=
∴=
∴
點(diǎn)評(píng)：已知數(shù)列的和與項(xiàng)的遞推關(guān)系求通項(xiàng)時(shí)，一般利用仿寫作差的方法將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為項(xiàng)間的遞推關(guān)系求出通項(xiàng)；解決一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列、等比數(shù)列求參數(shù)的范圍，一般利用前三項(xiàng)列出等式求出參數(shù)，再代入通項(xiàng)檢驗(yàn)．