Question

20．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，若橢圓上存在點(diǎn)M，滿足它到點(diǎn)F的距離是其到l的距離的$\frac{3}{2}$倍，則橢圓的離心率的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 通過設(shè)M到直線l的距離為d、記右焦點(diǎn)為F′，根據(jù)橢圓的第二定義得|MF′|=$\frac{c}{a}$•d，利用橢圓定義可知$\frac{3}{2}$d=2a-$\frac{c}{a}$•d，從而d=$\frac{4{a}^{2}}{3a+2c}$，利用|MF|∈（a-c，a+c），進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：設(shè)M到直線l的距離為d，記右焦點(diǎn)為F′，
根據(jù)橢圓的第二定義得$\frac{|MF′|}df5d5dx$=e=$\frac{c}{a}$，
∵|MF|+|MF′|=2a，
∴|MF|=2a-|MF′|=2a-$\frac{c}{a}$•d，
又∵|MF|=$\frac{3}{2}$d，
∴$\frac{3}{2}$d=2a-$\frac{c}{a}$•d，即d=$\frac{4{a}^{2}}{3a+2c}$，
∴$\frac{3}{2}$d=$\frac{6{a}^{2}}{3a+2c}$，
又∵|MF|∈（a-c，a+c），
∴a-c≤$\frac{6{a}^{2}}{3a+2c}$≤a+c，
整理得：2$（\frac{c}{a}）^{2}$+$\frac{c}{a}$+3≥0，且2$（\frac{c}{a}）^{2}$+5$\frac{c}{a}$-3≥0，
解得：$\frac{c}{a}$≥$\frac{1}{2}$或$\frac{c}{a}$≤-3（舍），
又∵$\frac{c}{a}$＜1，
∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{c}{a}$＜1，即橢圓離心率的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1），
故答案為：[$\frac{1}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的基本性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．