Question

10．已知函數y=sinx+acosx的圖象關于x=$\frac{π}{3}$對稱，則函數y=asinx+cosx的圖象的一條對稱軸是（　　）

• A． x=$\frac{5π}{6}$
• B． x=$\frac{2π}{3}$
• C． x=$\frac{π}{3}$
• D． x=$\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 函數y=sinx+acosx變?yōu)閥=$\sqrt{1+{a}^{2}}$sin（x+φ），tanφ=a又圖象關于x=$\frac{π}{3}$對稱，$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，可求得φ=kπ+$\frac{π}{6}$，由此可求得a=tanφ=tan（kπ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，將其代入函數y=asinx+cosx化簡后求對稱軸即可．

解答 解：y=sinx+acosx變?yōu)閥=$\sqrt{1+{a}^{2}}$sin（x+φ），（令tanφ=a）
又∵圖象關于x=$\frac{π}{3}$對稱，
∴$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
可求得φ=kπ+$\frac{π}{6}$，
由此可求得a=tanφ=tan（kπ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴函數y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinx+cosx=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（x+θ），（tanθ=$\sqrt{3}$）
其對稱軸方程是x+θ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
即x=kπ+$\frac{π}{2}$-θ
又tanθ=$\sqrt{3}$，故θ=k₁π+$\frac{π}{3}$，k₁∈z
故函數y=asinx+cosx的圖象的對稱軸方程為x=（k-k₁）π+$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$=（k-k₁）π+$\frac{π}{6}$，k-k₁∈z，
當k-k₁=0時，對稱軸方程為x=$\frac{π}{6}$，
故選：D．

點評 本題考查三角恒等變形以及正弦類函數的對稱性質，是三角函數中綜合性比較強的題目，比較全面地考查了三角函數的圖象與性質．