Question

（理）（1）已知集合P={x|

1

2

≤x≤2}，函數(shù)f(x)=log2(ax2-2x+2)的定義域為Q，若P⊆Q，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）已知集合P={x|

1

2

≤x≤2}，函數(shù)f(x)=log2(ax2-2x+2)的定義域為Q，若P∩Q≠∅，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）P⊆Q，則說明不等式ax²-2x+2＞0在x∈[

1

2

，2]上恒成立，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題即可解決；
（2）P∩Q≠∅，則說明在[

1

2

，2]上至少存在一個x值，使不等式ax²-2x+2＞0成立，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決；

解答：解：（1）由已知Q={x|ax²-2x+2＞0}，
若P⊆Q，則說明不等式ax²-2x+2＞0在x∈[

1

2

，2]上恒成立，
即不等式a＞

2

x

-

2

x2

在x∈[

1

2

，2]上恒成立，
令u=

2

x

-

2

x2

，則只需a＞u_max即可．
又u=

2

x

-

2

x2

=-2(

1

x

-

1

2

)2+

1

2

．
當(dāng)x∈[

1

2

，2]時，

1

x

∈[

1

2

，2]，從而u∈[-4，

1

2

]，umax=

1

2

，
∴a＞

1

2

．所以實數(shù)a的取值范圍是a＞

1

2

．
（2）若P∩Q≠∅，
則說明在[

1

2

，2]上至少存在一個x值，使不等式ax²-2x+2＞0成立，
即在[

1

2

，2]上至少存在一個x值，使a＞

2

x

-

2

x2

成立，即只需a＞u_min即可．
由（1）知，u_min=-4，∴a＞-4．

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)定義域的求解、集合運算及不等式恒成立問題，解決關(guān)鍵是恰當(dāng)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值．