對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），若同時(shí)滿(mǎn)足下列條件：①f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)y=-x3符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）判斷函數(shù)f（x）=
3
4
x+
1
x
（x＞0）是否為閉函數(shù)？并說(shuō)明理由．
分析：（1）可設(shè)區(qū)間[a，b]滿(mǎn)足條件，則[f（b），f（a）]與它相同，從而求得a、b的值；
（2）x＞0時(shí)，f（x）有最小值，不是定義域上的增函數(shù)或減函數(shù)，從而知f（x）不是閉函數(shù)．
解答：解：（1）由題意，函數(shù)y=-x3是R上的減函數(shù)，若滿(mǎn)足x∈[a，b]⊆R，且f（x）的值域?yàn)閇a，b]；則f（a）=-a3，f（b）=-b3；
∴
b=-a3
a=-b3
，且b＞a；解得
a=-1
b=1
，
所以，所求的區(qū)間為[-1，1]．
（2）∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=
3
4
x+
1
x
≥2
3
4
x•
1
x
=
3
，當(dāng)且僅當(dāng)
3
4
x=
1
x
，即x=
2
3
時(shí)“=”成立，
∴f（x）不是（0，+∞）上的增函數(shù)或減函數(shù)；
所以，函數(shù)f（x）不是（0，+∞）上的閉函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義下的數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用題目中的定義來(lái)解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，有一定的挑戰(zhàn)性．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，同時(shí)滿(mǎn)足：
①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
②當(dāng)定義域是[m，n]時(shí)，f（x）的值域也是[m，n]．則稱(chēng)[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．
（1）求證：函數(shù)y=g(x)=3-
5
x
不存在“和諧區(qū)間”．
（2）已知：函數(shù)y=
(a2+a)x-1
a2x
（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當(dāng)a變化時(shí)，求出n-m的最大值．
（3）易知，函數(shù)y=x是以任一區(qū)間[m，n]為它的“和諧區(qū)間”．試再舉一例有“和諧區(qū)間”的函數(shù)，并寫(xiě)出它的一個(gè)“和諧區(qū)間”．（不需證明，但不能用本題已討論過(guò)的y=x及形如y=
bx+c
ax
的函數(shù)為例）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱(chēng)區(qū)間M為函數(shù)f（x）的“等值區(qū)間”．給出下列三個(gè)函數(shù)：
①f(x)=(
12
)x；   ②f（x）=x3；    ③f（x）=log2x+1
則存在“等值區(qū)間”的函數(shù)的個(gè)數(shù)是
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•崇明縣一模）定義：對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)f（x），如果存在t∈D，使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立，稱(chēng)函數(shù)f（x）在D上是“T”函數(shù)．已知下列函數(shù)：
①f（x）=
1x
；　
②f（x）=log2（x2+2）；
③f（x）=2x（x∈（0，+∞））；　
④f（x）=cosπx（x∈[0，1]），其中屬于“T”函數(shù)的序號(hào)是
③
③
．（寫(xiě)出所有滿(mǎn)足要求的函數(shù)的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)f（x），若同時(shí)滿(mǎn)足下列條件：①f（x）在D內(nèi)有單調(diào)性；②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域也為[a，b]，則稱(chēng)f（x）為D上的“和諧”函數(shù)，[a，b]為函數(shù)f（x）的“和諧”區(qū)間．
（Ⅰ）求“和諧”函數(shù)y=x3符合條件的“和諧”區(qū)間；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x＞0)是否為“和諧”函數(shù)？并說(shuō)明理由．
（Ⅲ）若函數(shù)g(x)=
x+4
+m是“和諧”函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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