Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx（a∈R）
（1）當a=3時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，對?x∈（0，+∞），f（x）≥3mx-2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對函數(shù)進行求導，然后令導函數(shù)大于0求出x的范圍，令導函數(shù)小于0求出x的范圍，即可得到答案；
（2）由函數(shù)f（x）在x=1處取得極值求出a的值，再依據(jù)不等式恒成立時所取的條件，求出實數(shù)m的取值范圍即可．

解答 解：（1）當a=3時，f（x）=3x-1-lnx（a∈R），x＞0，
∴f′（x）=3-$\frac{1}{x}$=$\frac{3x-1}{x}$，
當f′（x）＞0時，即x＞$\frac{1}{3}$時，函數(shù)單調(diào)遞增，
當f′（x）＜0時，即0＜x＜$\frac{1}{3}$時，函數(shù)單調(diào)遞減，
故f（x）在（$\frac{1}{3}$，+∞）上為增函數(shù)，在（0，$\frac{1}{3}$）上為減函數(shù)．
（2）∵f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=a-1=0，
解得a=1，
∵對?x∈（0，+∞），f（x）≥3mx-2恒成立，
∴x-1-lnx≥3mx-2在（0，+∞）上恒成立，
即m≤$\frac{1}{3}$（1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$），
設g（x）=1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，
∴g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{lnx-2}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，解得x=e²，
當g′（x）＞0時，即x＞e²時，函數(shù)單調(diào)遞增，
當g′（x）＜0時，即0＜x＜e²時，函數(shù)單調(diào)遞減，
當x=e²時函數(shù)有極小值，也是最小值，
∴g（x）_min=g（e²）=1+$\frac{1}{{e}^{2}}$-$\frac{2}{{e}^{2}}$=1-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴m≤$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3{e}^{2}}$
故m的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3{e}^{2}}$]．

點評 本題主要考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．