Question

（06年山東卷理）（12分）

雙曲線C與橢圓有相同的焦點，直線為C的一條漸近線。

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過點的直線，交雙曲線C于A、B兩點，交軸于Q點（Q點與C的頂點不重合），當(dāng)，且時，求點的坐標(biāo)。

Answer 1

解析：（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為，由橢圓 

求得兩焦點為，

對于雙曲線，又為雙曲線的一條漸近線

  解得 ，

雙曲線的方程為

（Ⅱ）解法一：

由題意知直線的斜率存在且不等于零。

設(shè)的方程：，，則

，

在雙曲線上，

同理有：

若則直線過頂點，不合題意.

是二次方程的兩根.

，，

此時.

所求的坐標(biāo)為.

解法二：

由題意知直線的斜率存在且不等于零

設(shè)的方程，，則.

，分的比為.

由定比分點坐標(biāo)公式得

下同解法一

解法三：

由題意知直線的斜率存在且不等于零

設(shè)的方程：，則.

，

.

，

，，

又，，即

將代入得

，否則與漸近線平行。

。

，，

解法四：

由題意知直線l得斜率k存在且不等于零，設(shè)的方程：，

則

,。

同理，.

即    。                                    （*）

又   

消去y得.

當(dāng)時，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意，。

由韋達(dá)定理有：

代入（*）式得    

所求Q點的坐標(biāo)為。