【題目】已知函數(shù)f(x)= ,曲線(xiàn)f(x)=
在點(diǎn)(e,f(e))處的切線(xiàn)與直線(xiàn)e2x﹣y+e=0垂直.(注:e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)) (Ⅰ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,m+1)上存在極值,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)求證:當(dāng)x>1時(shí), >
.
【答案】解:(Ⅰ) 因?yàn)閒(x)= ,所以f′(x)=
,(1分) 又據(jù)題意,得f′(e)=﹣
,所以﹣
=﹣
,所以a=1.
所以f(x)= ,所以f′(x)=﹣
(x>0).
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)>0,f(x)為增函數(shù);
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)為減函數(shù).
所以函數(shù)f(x)僅當(dāng)x=1時(shí),取得極值.
又函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,m+1)上存在極值,
所以m<1<m+1,所以0<m<1.
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,1).
(Ⅱ)證明:當(dāng)x>1時(shí), >
,即為
>>
,
令g(x)= ,則g′(x)=
,
再令φ(x)=x﹣ln x,則φ′(x)=1﹣ =
.
又因?yàn)閤>1,所以φ′(x)>0.所以φ(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).
又因?yàn)棣眨?)=1.所以當(dāng)x>1時(shí),g′(x)>0.所以g(x)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù).
所以當(dāng)x>1時(shí),g(x)>g(1),又g(1)=2,故 >
.
令h(x)= ,則h′(x)=
,
因?yàn)閤>1,所以 <0.所以當(dāng)x>1時(shí),h′(x)<0.
故函數(shù)h(x)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù).又h(1)= ,
所以當(dāng)x>1時(shí),h(x)< ,所以
>h(x),即
>
.
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出a的值,解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出m的范圍即可;(Ⅱ)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為
>
,令g(x)=
,令h(x)=
,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在
附近的左側(cè)
,右側(cè)
,那么
是極大值(2)如果在
附近的左側(cè)
,右側(cè)
,那么
是極小值.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直,AB⊥BC,AF⊥AC,AF 2CE,G是線(xiàn)段BF上一點(diǎn),AB=AF=BC=2.
(1)當(dāng)GB=GF時(shí),求證:EG∥平面ABC;
(2)求二面角E﹣BF﹣A的余弦值;
(3)是否存在點(diǎn)G滿(mǎn)足BF⊥平面AEG?并說(shuō)明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O為AD中點(diǎn).
(1)求B點(diǎn)到平面PCD的距離;
(2)線(xiàn)段PD上是否存在一點(diǎn)Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值為?若存在,求出
的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面上,我們?nèi)绻靡粭l直線(xiàn)去截正方形的一個(gè)角,那么截下的一個(gè)直角三角形,按圖所標(biāo)邊長(zhǎng),由勾股定理有:c2=a2+b2。設(shè)想正方形換成正方體,把截線(xiàn)換成如下圖的截面,這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLMN,如果用S1,S2,S3表示三個(gè)側(cè)面面積,S4表示截面面積,那么你類(lèi)比得到的結(jié)論是 .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
是菱形,
,
平面
,
,點(diǎn)
分別為
和
中點(diǎn).
(1)求證:直線(xiàn)平面
;
(2)求證:面
;
(3)求與平面
所成角的正弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿(mǎn)足a1=2,an+1=3an+2,
(1)證明:是等比數(shù)列,并求
的通項(xiàng)公式;
(2)證明: .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線(xiàn)l的參數(shù)方程為 ( t為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸 建立極坐標(biāo)系,圓C的方程為 ρ=2
sinθ.
(1)寫(xiě)出直線(xiàn)l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,0),圓C與直線(xiàn)l交于A,B兩點(diǎn),求|PA|+|PB|的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)求與雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)
的雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求焦點(diǎn)在直線(xiàn)上的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專(zhuān)區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話(huà):027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com