Question

某地需要修建一條大型輸油管道通過240公里寬的沙漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程只需要在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站（又稱泵站）．經(jīng)預(yù)算，修建一個(gè)增壓站的工程費(fèi)用為400萬元，鋪設(shè)距離為x公里的相鄰兩增壓站之間的輸油管道費(fèi)用為x²+x萬元．設(shè)余下工程的總費(fèi)用為y萬元．
（1）試將y表示成關(guān)于x的函數(shù)；
（2）需要修建多少個(gè)增壓站才能使y最小，其最小值為多少萬元？

Answer 1

分析：（1）先設(shè)需要修建k個(gè)增壓站，列出余下工程的總費(fèi)用的函數(shù)表達(dá)式，再結(jié)合自變量x的實(shí)際意義：x表示相鄰兩增壓站之間的距離，確定出函數(shù)的定義域即可．
（2）依據(jù)（1）中得出的函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合基本不等式即可求得函數(shù)y的最大值．最后回到原實(shí)際問題進(jìn)行解答即可．

解答：解：（1）設(shè)需要修建k個(gè)增壓站，則（k+1）x=240，即k=

240

x

-1．所以y=400k+(k+1)(x2+x)=400×(

240

x

-1)+

240

x

(x2+x)=

96000

x

+240x-160．
因?yàn)閤表示相鄰兩增壓站之間的距離，則0＜x≤240．
故y與x的函數(shù)關(guān)系是y=

96000

x

+240x-160(0＜x≤240)．
（2）y=

96000

x

+240x-160≥2

96000 x ×240x

-160=2×4800-160=9440．
當(dāng)且僅當(dāng)

96000

x

=240x即x=20時(shí)取等號．此時(shí)，k=

240

x

-1=

240

20

-1=11．
故需要修建11個(gè)增壓站才能使y最小，其最小值為9440萬元．

點(diǎn)評：本小題主要考查基本不等式、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、函數(shù)最值的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力．屬于中檔題．