Question

(歷史方向) 如圖,空間四邊形ABCD中,AC,BD為對(duì)角線,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),G,H分別在邊CD,DA上,且.

⑴求證:點(diǎn)E,F,G,H共面;

⑵若λ=2,求證:直線FG,EH,BD相交于一點(diǎn).

Answer 1

如圖,空間四邊形ABCD中,AC,BD為對(duì)角線,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),G,H分別在邊CD,DA上,且.

⑴求證:點(diǎn)E,F,G,H共面;

⑵若λ=2,求證:直線FG,EH,BD相交于一點(diǎn).

證明: ⑴∵在△ABC中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn)

∴EF‖AC且           ……………………（2分）

又∵在△ADC中, G,H分別在邊CD,DA上,且

∴GH‖AC且       ……………………（4分）

∴EF‖GH                         ……………………（6分）

∴點(diǎn)E,F,G,H共面.                   ……………………（7分）

⑵當(dāng)λ=2時(shí),由⑴得,  ∴EF>GH   ……………………（8分）

∴FG,EH在平面EFGH內(nèi)不平行,設(shè)FG,EH相交于點(diǎn)O      ……………………（9分）

∴O∈FG                                             ……………………（10分）

又∵FG平面BDC

∴O∈平面BDC                                       ……………………（11分）

同理O∈平面BDA

∴O在平面BDC與平面BDA交線上                     ……………………（12分）

又∵平面BDC∩平面BDA=BD

∴O∈BD

∴直線FG,EH,BD相交于一點(diǎn)O.                        ……………………（14分）