Question

（理） 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量

OA

=(1，2，3)，

OB

=(2，1，2)，

OP

=(1，1，2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動，則當(dāng)

QA

•

QB

取得最小值時，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

分析：由已知中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量

OA

=(1，2，3)，

OB

=(2，1，2)，

OP

=(1，1，2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動，我們可以設(shè)

OQ

=λ

OP

=（λ，λ，2λ），求出向量

QA

，

QB

的坐標(biāo)，代入空間向量的數(shù)量積運(yùn)算公式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得到滿足條件的λ的值，進(jìn)而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：∵

OP

=(1，1，2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動，
設(shè)

OQ

=λ

OP

=（λ，λ，2λ）
又∵向量

OA

=(1，2，3)，

OB

=(2，1，2)，
∴

QA

=（1-λ，2-λ，3-2λ），

QB

=（2-λ，1-λ，2-2λ）
則

QA

•

QB

=（1-λ）×（2-λ）+（2-λ）×（1-λ）+（3-2λ）×（2-2λ）=6λ²-16λ+10
易得當(dāng)λ=

4

3

時，

QA

•

QB

取得最小值．
此時Q的坐標(biāo)為（

4

3

，

4

3

，

8

3

）
故答案為：（

4

3

，

4

3

，

8

3

）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，其中根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，求出

QA

•

QB

的表達(dá)式，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為一個二次函數(shù)最值問題，是解答本題的關(guān)鍵．