Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2且an+1=

2(n+1)an

an+n

（n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{

n

an

-1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

＜n+2（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由題得：a_n+1（a_n+n）=2（n+1）a_n，即a_na_n+1+na_n+1=2（n+1）a_n，故2(

n+1

an+1

-1)=

n

an

-1．由此能夠數(shù)列{

n

an

-1}為等比數(shù)列，并能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由

an

n

=1+

1

2n-1

，知

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

≤n+

1

20

+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

，由此能夠證明

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

＜n+2（n∈N^*）．

解答：（本小題滿分14分）
解：（1）由題得：a_n+1（a_n+n）=2（n+1）a_n，
即a_na_n+1+na_n+1=2（n+1）a_n，
故2(

n+1

an+1

-1)=

n

an

-1即數(shù)列{

n

an

-1}為等比數(shù)列，…（3分）
∴

n

an

-1=(-

1

2

)(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n，
∴an=n+

n

2n-1

…（7分）
（2）由（1）知

an

n

=1+

1

2n-1

…（8分）
∴

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

≤n+

1

20

+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

=n+ [1-( 1 2 )n] 1- 1 2 =n+2-( 1 2 )n-1 ＜n+2

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列、不等式知識(shí)．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．