Question

（2013•四川）某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x在1，2，3，…，24這24個(gè)整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生
（I）分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時(shí)輸出y的值為i的概率p_i（i=1，2，3）；
（II）甲乙兩同學(xué)依據(jù)自己對(duì)程序框圖的理解，各自編程寫出程序重復(fù)運(yùn)行n次后，統(tǒng)計(jì)記錄輸出y的值為i（i=1，2，3）的頻數(shù)，以下是甲乙所作頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的部分?jǐn)?shù)據(jù)．
甲的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)圖（部分）

運(yùn)行次數(shù)n	輸出y的值為1的頻數(shù)	輸出y的值為2的頻數(shù)	輸出y的值為3的頻數(shù)
30	14	6	10
…	…	…	…
2100	1027	376	697

乙的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)圖（部分）

運(yùn)行次數(shù)n	輸出y的值為1的頻數(shù)	輸出y的值為2的頻數(shù)	輸出y的值為3的頻數(shù)
30	12	11	7
…	…	…	…
2100	1051	696	353

當(dāng)n=2100時(shí)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i（i=1，2，3）的頻率（用分?jǐn)?shù)表示），并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編程序符合要求的可能系較大；
（III）將按程序擺圖正確編寫的程序運(yùn)行3次，求輸出y的值為2的次數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）變量x是在1，2，3，…，24這24個(gè)整數(shù)中隨機(jī)產(chǎn)生的一個(gè)數(shù)，共有24種可能，由程序框圖可得y值為1，2，3對(duì)應(yīng)的情況，由古典概型可得；（II）由題意可得當(dāng)n=2100時(shí)，甲、乙所編程序各自輸出的y值為1，2，3時(shí)的頻率，可得答案；（III）隨機(jī)變量ξ的可能取值為：0，1，2，3，分別求其概率可得分布列和期望．

解答：解：（I）變量x是在1，2，3，…，24這24個(gè)整數(shù)中隨機(jī)產(chǎn)生的一個(gè)數(shù)，共有24種可能，
當(dāng)x從1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23這12個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出的y值為1，故P₁=

12

24

=

1

2

；
當(dāng)x從2，4，8，10，14，16，20，22這8個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出的y值為2，故P₂=

8

24

=

1

3

；
當(dāng)x從6，12，18，24這4個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出的y值為3，故P₃=

4

24

=

1

6

；
故輸出的y值為1的概率為

1

2

，輸出的y值為2的概率為

1

3

，輸出的y值為3的概率為

1

6

；
（II）當(dāng)n=2100時(shí)，甲、乙所編程序各自輸出的y值為i（i=1，2，3）的頻率如下：

	輸出y值為1的頻率	輸出y值為2的頻率	輸出y值為3的頻率
甲	1027 2100	376 2100	697 2100
乙	1051 2100	696 2100	353 2100

比較頻率趨勢(shì)與概率，可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大；
（III）隨機(jī)變量ξ的可能取值為：0，1，2，3，P（ξ=0）=

C

0 3

×(

1

3

)0×(

2

3

)3=

8

27

，P（ξ=1）=

C

1 3

×(

1

3

)1×(

2

3

)2=

4

9

P（ξ=2）=

C

2 3

×(

1

3

)2×(

2

3

)1=

2

9

，P（ξ=3）=

C

3 3

×(

1

3

)3×(

2

3

)0=

1

27

，故ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	8 27	4 9	2 9	1 27

所以所求的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

8

27

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

1

27

=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，涉及程序框圖和數(shù)學(xué)期望的求解，屬中檔題．