在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點．
（1）求證：MN∥平面PAD．
（2）求證：MN⊥CD．
（3）若PD與平面ABCD所成的角為45°，求證：MN⊥平面PCD．
考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定
專題：空間位置關系與距離
分析：（1）欲證MN∥平面PAD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證MN與平面PAD內(nèi)一直線平行即可，設PD的中點為E，連接AE、NE，易證AMNE是平行四邊形，則MN∥平面PAD；（2）欲證AB⊥CD，先證線面垂直即可得到AB⊥CD；（3）欲證MN⊥平面PCD，先證AE⊥平面PCD．
解答： （1）證明：取PD的中點E，連接AE、NE，N為PCD的中點，∴NE∥CD，NE=
1
2
CD，∵M是AB的中點．底面ABCD是矩形，∴AM∥CD，AM=
1
2
CD，∴NE∥AM，NE=AM，AMNE為平行四邊形，∴MN∥AE，AE?平面PAD，MN?平面PAD，∴MN∥平面PAD．
（2）證明：PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA，∴底面ABCD是矩形，CD⊥AD，AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，AE?平面PAD，∴CD⊥AE，由（1）知，MN∥AE，∴MN⊥CD．
（3）證明：PD與平面ABCD所成的角為45°，PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即PD與平面ABCD所成的角，即∠PDA=45°，PA⊥AD，∴PA=AD，∴△PAD為等腰直角三角形，E為PD 中點，∴AE⊥PD，又由（2）知，AE⊥CD，PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，由（1）知，MN∥AE，∴MN⊥平面PCD．
點評：本題考查線面、線線的平行與垂直的位置關系，線面、線線的平行與垂直判定定理及其性質(zhì)的靈活應用是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=2，PD=
2
，M為棱PB的中點．
（Ⅰ）證明：DM⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A-DM-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知過曲線C上任意一點P作直線x=-2p（p＞0）的垂線，垂足為M，且OP⊥OM．
（1）求曲線C的方程；
（2）設A、B是曲線C上兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當α，β變化且α+β為定值θ（0＜θ＜π）時，證明直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過橢圓
x2
3
+
y2
2
=1的焦點F1，F(xiàn)2分別作互相垂直的直線l1，l2，
（1）直線l1，l2交于P（x0，y0），求證：
x02
3
+
y02
2
＜1
（2）若直線l1，l2分別與橢圓交于A，C和B，D，
（i）求證：
1
|AC|
+
1
|BD|
=定值
（ii）求四邊形ABCD面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知AB是圓柱OO1底面圓O的直徑，底面半徑R=1，圓柱的表面積為8π；點C在底面圓O上，且∠AOC=120°．
（1）求三棱錐A-A1CB的體積；
（2）求異面直線A1B與OC所成的角的大�。ńY果用反三角函數(shù)值表示）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+alnx．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC．
（1）求證：AC⊥BB1；
（2）若AB=AC=A1B=2，在棱B1C1上確定一點P，使二面角P-AB-A1的平面角的余弦值為
2
5
5
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

計算：
x
x
+x
y
xy-y2
-
x+
xy
+y
x
x
-y
y
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，直線l分別經(jīng)過橢圓長軸和短軸的一個頂點，且與圓C：x2+y2=
2
3
相切，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）P為圓C上任意一點，以P為切點作圓C的切線與橢圓E相交于點M，N，求線段|MN|的取值范圍．

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