Question

設異面直線a與b所成的角為50°,O為空間一定點,試討論,過點O與a、b所成的角都是θ(0°≤θ≤90°)的直線l有且僅有幾條?

Answer 1

解:過點O作a₁∥a,b₁∥b,則相交直線a₁、b₁確定一平面α.a₁與b₁夾角為50°或130°,

    設直線OA與a₁、b₁均為θ角,作AB⊥面α于點B,BC⊥a₁于點C,BD⊥b₁于點D,記∠AOB=θ₁,∠BOC=θ₂(θ₂=25°或65°),

    則有cosθ=cosθ₁·cosθ₂.

    因為0°≤θ₁≤90°,

    所以0≤cosθ≤cosθ₂.

    當θ₂=25°時,由0≤cosθ≤cos25°,得25°≤θ≤90°;

    當θ₂=65°時,由0≤cosθ≤cos65°,得65°≤θ≤90°.

    故當θ＜25°時,直線l不存在;當θ=25°時,直線l有且僅有1條;

    當25°＜θ＜65°時,直線l有且僅有2條;

    當θ=65°時,直線l有且僅有3條;

    當65°＜θ＜90°時,直線l有且僅有4條;

    當θ=90°時,直線l有且僅有1條.

講評:異面直線所成的角就是選點、平移后的平面角.上述解答首先將問題轉化為:求過點O與a₁、b₁均成θ角的直線的條數(shù),進而通過討論θ的范圍去確定直線l的條數(shù).