已知{an}是等比數(shù)列,a1=2,a3=18;{bn}是等差數(shù)列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20.
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項和Sn的公式;
(3)設(shè)Pn=b1+b4+b7+…+b3n-2,Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8,其中n=1,2,…,試比較Pn與Qn的大小,并證明你的結(jié)論.
分析:(1)將已知轉(zhuǎn)化成基本量,先有{an}的條件求出公比q2=
a3
a1
,要注意討論q的值的情況,再由等差數(shù)列{bn}滿足b1+b2+b3+b4=26進(jìn)而求出d,得到bn
(2)利用等差數(shù)列的前n項和公式可得結(jié)果;
(3)由已知可得b1,b4,b7,b3n-2組成以b1=2為首項,3d為公差的等差數(shù)列,而b10,b12,b14,b2n+8組成以b10=29為首項,2d為公差的等差數(shù)列,求出Pn和Qn后,作差比較,得到關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式,討論n的情況可得結(jié)果.
解答:解:(1)設(shè){an}的公比為q,由a3=a1q2得q2=
a3
a1
=9,q=±3.
當(dāng)q=-3時,a1+a2+a3=2-6+18=14<20,
這與a1+a2+a3>20矛盾,故舍去.
當(dāng)q=3時,a1+a2+a3=2+6+18=26>20,故符合題意.
設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d,由b1+b2+b3+b4=26得4b1+
4×3
2
d=26.
又b1=2,解得d=3,所以bn=3n-1.
(2)Sn=
n(b1+bn)
2
=
3
2
n2+
1
2
n.
(3)b1,b4,b7,b3n-2組成以3d為公差的等差數(shù)列,
所以Pn=nb1+
n(n-1)
2
•3d=
9
2
n2-
5
2
n;
b10,b12,b14,b2n+8組成以2d為公差的等差數(shù)列,b10=29,
所以Qn=nb10+
n(n-1)
2
•2d=3n2+26n.
Pn-Qn=(
9
2
n2-
5
2
n)-(3n2+26n)=
3
2
n(n-19).
所以,對于正整數(shù)n,當(dāng)n≥20時,Pn>Qn;
當(dāng)n=19時,Pn=Qn;
當(dāng)n≤18時,Pn<Qn
點評:本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基本知識,屬于基礎(chǔ)題目,考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.
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    充分不必要條件
  2. B.
    必要不充分條件
  3. C.
    充要條件
  4. D.
    既不充分也不必要條件

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