Question

已知數列的首項為，對任意的，定義.
（Ⅰ） 若，
(i)求的值和數列的通項公式；
(ii)求數列的前項和；
（Ⅱ）若，且，求數列的前項的和.

Answer 1

(1) ,,
(2) 當為偶數時，；當為奇數時，

試題分析：(Ⅰ) 解：(i),,     ………………2分
由得
當時，
=………4分
而適合上式，所以.………………5分
(ii)由(i)得：     ……………6分

……………7分
                             …………8分
(Ⅱ)解：因為對任意的有，
所以數列各項的值重復出現，周期為.        …………9分
又數列的前6項分別為，且這六個數的和為8. ……………10分
設數列的前項和為，則，
當時，
，       ……………11分
當時，

 ，                    …………12分
當時
所以，當為偶數時，；當為奇數時，. ……………13分
點評：解決的關鍵是對于數列的遞推關系的理解和運用，并能結合裂項法求和，以及分情況討論求和，屬于中檔題。