Question

矩形ABCD中，AB=

2

，BC=2，Q為AD的中點(diǎn)，將△ABQ、△CDQ沿BQ、CQ折起，使得AQ、DQ重合，記A、D重合的點(diǎn)為P．
（1）求二面角B-PQ-C的大��；
（2）證明PQ⊥BC；
（3）求直線PQ與平面BCQ所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折起前后的線線關(guān)系可知PB⊥PQ，APC⊥PQ，則∠BPC就是所求的二面角的平面角，根據(jù)勾股定理可知△PBC是直角三角形，即可求出所求；
（2）取BC中點(diǎn)M，連PM、QM，則有PM⊥BC，QM⊥BC，而PM∩QM=M，PM?平面PQM，QM?平面PQM，根據(jù)線面垂直判定定理可知BC⊥平面PQM，而PQ?平面PQM，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知PQ⊥BC．
（3）根據(jù)面面垂直的判定定理可知平面PQM⊥平面BCQ，作PN⊥QM，則有PN⊥平面BCQ，從而∠PQN就是所求的角，在等腰△BCQ中，求出OM，在等腰△BCP中，易得PM=1，則△PQM是等腰直角三角形，從而求出所求．

解答：（1）解：在矩形ABCD中，AB⊥AQ，DC⊥DQ，
所以，在折起后，有PB⊥PQ，APC⊥PQ，
所以∠BPC就是所求的二面角的平面角．
因?yàn)?span id="f199cve" class="MathJye">PB=PC=AB=

2

，BC=2，
所以PB²+PC²=BC²，即△PBC是直角三角形，
所以∠BPC=90°．（4分）

（2）證明：由已知可得△BCQ、△BCP都是等腰三角形，
取BC中點(diǎn)M，連PM、QM，
則有PM⊥BC，QM⊥BC，
因?yàn)镻M∩QM=M，PM?平面PQM，QM?平面PQM，
所以BC⊥平面PQM，
因?yàn)镻Q?平面PQM，
所以PQ⊥BC．（9分）

（3）解：由（2）知BC⊥平面PQM，而BC?平面BCQ，
所以平面PQM⊥平面BCQ．
又平面PQM∩平面BCQ=QM，
所以，作PN⊥QM，有PN⊥平面BCQ，
所以QN是PQ在平面BCQ內(nèi)的射影，
所以∠PQN就是所求的角．
在等腰△BCQ中，QC=

3

，MC=1，所以得QM=

2

；
在等腰△BCP中，易得PM=1，
所以△PQM是等腰直角三角形，于是∠PQN=∠PQM=45°．（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了二面角的度量，以及線面垂直的性質(zhì)和線面所成角的求解，同時(shí)考查了空間想象能力、計(jì)算能力和推理能力，屬于中檔題．