Question

已知函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+1，a∈R．
（1）試判斷f（x）的奇偶性；
（2）若-

1

2

≤a≤

1

2

，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于函數(shù)解析式為f（x）=x²+|x-a|+1，a∈R，所以利用解析式及判斷函數(shù)的奇偶性的方法，對a進行分類討論即可；
（2）由于-

1

2

≤a≤

1

2

，求f（x）的最小值，且解析式含有絕對值，所以利用對a的討論把解析式具體化，之后利用二次函數(shù)性質求出定義域下的值域即可．

解答：解：（1）當a=0時，函數(shù)f（-x）=（-x）²+|-x|+1=f（x），
此時，f（x）為偶函數(shù)．
當a≠0時，f（a）=a²+1，f（-a）=a²+2|a|+1，
f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a），此時，f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（2）當x≤a時，
f（x）=x2-x+a+1=(x-

1

2

)2+a+

3

4

∵a≤

1

2

，故函數(shù)f（x）在（-∞，a]上單調遞減．
從而函數(shù)f（x）在（-∞，a]上的最小值為f（a）=a²+1
當x≥a時，函數(shù)f(x)=x2+x-a+1=(x+

1

2

)2-a+

3

4

，
∵a≥-

1

2

故函數(shù)f（x）在[a，+∞）上單調遞增，從而函數(shù)f（x）在[a，+∞）上的最小值為f（a）
=a²+1．
綜上得，當-

1

2

≤a≤

1

2

時，函數(shù)f（x）的最小值為a²+1．

點評：此題考查了學生分類討論的思想，奇函數(shù)與偶函數(shù)的判定，還考查了絕對值函數(shù)的拖絕對值的討論及二次函數(shù)在定義域下求值域．