Question

設(shè)函數(shù)，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．x₁+x₂＞0
B．x₁²＞x₂²
C．x₁＞x₂
D．x₁²＜x₂²

Answer 1

【答案】分析：由f（-x）=-x•sin（-x）=f（x）⇒f（x）=xsinx為偶函數(shù)，f′（x）=sinx+xcosx，當(dāng)x∈[0，]⇒f′（x）＞0⇒f（x）單調(diào)遞增，
⇒時，f（x）單調(diào)遞減；于是f（x₁）＞f（x₂）?|x₁|＞|x₂|?x₁²＞x₂²，問題解決了．
解答：解：∵f（-x）=-x•sin（-x）=xsinx=f（x），
∴函數(shù)f（x）=xsinx為偶函數(shù)，又f′（x）=sinx+xcosx，
∴時，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，時，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減；
∴f（x₁）＞f（x₂）?f（|x₁|）＞f（|x₂|）?|x₁|＞|x₂|?x₁²＞x₂²，
故選B．
點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，難點在于“f（x）=xsinx在x∈[0，]時f（x）單調(diào)遞增”的證明（導(dǎo)數(shù)法）及偶函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用（f（x₁）＞f（x₂）?|x₁|＞|x₂|），屬于難題．