Question

在△ABC中，已知acosB+bcosA=b，
（1）求證C=B；
（2）若∠ABC的平分線交AC于D，且sin=，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由acosB+bcosA=b 和正弦定理可得 sin（A+B）=sinB，即sinC=sinB，C=B．
（2）△BCD中，用正弦定理可得==2cos，設 A=x，B=2α=C，由4α+x=180°得到 α+=45°，利用兩角差的余弦公式求出cosα=cos（45°-） 的值，即可得到的值．
解答：解：（1）∵acosB+bcosA=b，由正弦定理可得 sinAcosB+cosAsinB=sinB，
∴sin（A+B）=sinB，即sinC=sinB，∴b=c，∴C=B．
（2）△BCD中，用正弦定理可得=，由第一問知道C=B，而BD是角平分線，
∴=2cos．
由于三角形內角和為180°，設 A=x，B=2α=C，那么4α+x=180°，故α+=45°．
∵sin=，∴cos=，∴cosα=cos（45°-）=cos45°cos+sin45°sin=．
∴=2cos=2cosα=．
點評：本題主要考查正弦定理、兩角和差的三角公式的應用，得到 =2cos=2cosα，及α+=45°，是解題的關鍵．