已知函數(shù)y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,x∈R,那么(Ⅰ)函數(shù)的最小正周期是什么?(Ⅱ)函數(shù)在什么區(qū)間上是增函數(shù)?
分析:(Ⅰ) 先利用二倍角公式化簡可得y=sin2x+cos2x+2,再利用輔助角公式化簡得y=
2
sin(2x+
π
4
)+2
,從而可求函數(shù)的最小正周期;
(Ⅱ) 整體思維,利用正弦函數(shù)的單調性,可得2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
,化簡即可得到函數(shù)的增區(qū)間.
解答:解:(Ⅰ) y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x
=1+sin2x+(1+cos2x)
=sin2x+cos2x+2-------------------------------------------------(2分)
=
2
sin(2x+
π
4
)+2
,---------------------------------------------------(5分)
∴函數(shù)的最小正周期是π.--------------------------------------(6分)
(Ⅱ) 由2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
,k∈Z---------------------------(8分)
得 kπ-
8
≤x≤kπ+
π
8
--------------------------------------------------------(10分)
∴函數(shù)的增區(qū)間為:[kπ-
8
,kπ+
π
8
],k∈Z
--------------------------------(12分)
點評:本題重點考查三角函數(shù)的化簡,考查三角函數(shù)的性質,正確運用二倍角公式及輔助角公式是解題的關鍵.
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A.
3
13
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5
13
C.-
3
13
D.-
5
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A.
B.
C.-
D.-

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