Question

已知等差數(shù)列前三項(xiàng)為a，4，3a，前n項(xiàng)和為S_n，又S_k=2550．
（1）求a及k值；
（2）求

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

S2006

．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的中項(xiàng)公式列出關(guān)于a的等式，求出首項(xiàng)a，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式列出關(guān)于k的等式，求出k的值．
（2）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出S_n=n（n+1）得到

1

Sn

，將其裂成兩項(xiàng)的差，利用裂項(xiàng)求和的方法求出和．

解答：解：（1）∵等差數(shù)列前三項(xiàng)為a，4，3a，
∴2×4=a+3a，
∴a=2，
公差d=4-2=2
又∵S_k=2550，
∴2k+

k(k-1)

2

×2=2550，
∴k²+k-2550=0，
∴k=50或k=-51（不合，舍去），即k=50
（2）等差數(shù)列2，4，6，…的前n項(xiàng)和S_n=

n(2+2n)

2

，即S_n=n（n+1）
于是

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
從而

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

S2006

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2006

-

1

2007

）=1-

1

2007

=

2006

2007

點(diǎn)評：求數(shù)列的前n項(xiàng)和，應(yīng)該先求出數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和方法．常用的求和方法有：公式法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、倒序相加法、分組法．