Question

函數(shù)y=f（x）（x∈R）有下列命題：
（1）在同一坐標(biāo)系中，y=f（x-1）與y=f（-x+1）的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱；
（2）若f（2-x）=f（x），則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
（3）若f（x-1）=f（x+1），則函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，且2是一個(gè)周期；
（4）若f（2-x）=-f（x），則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于（1，0）對(duì)稱．其中正確命題的序號(hào)是______．

Answer 1

解：根據(jù)題意，依次分析4個(gè)命題：
對(duì)于（1）：y=f（x）的圖象與y=f（-x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，將y=f（x）向右平移一個(gè)單位得到f（x-1）的圖象，
將y=f（-x）的圖象向右平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=[-（x-1）]=f（-x+1）的圖象，則在同一坐標(biāo)系中，y=f（x-1）與y=f（-x+1）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則（1）錯(cuò)誤；
對(duì)于（2）：在f（2-x）=f（x）中，令t=x-1，則f（1-t）=f（1+t），分析可得函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則（2）正確；
對(duì)于（3）：在f（x-1）=f（x+1）中，令t=x-1，有f（t）=f（t+2），則函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，且2是一個(gè)周期，（3）正確；
對(duì)于（4）：在f（2-x）=-f（x）中，令t=x-1，則f（1-t）=-f（1+t），則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于（1，0）對(duì)稱，則（4）正確；
綜合可得，正確命題的序號(hào)是（2）、（3）、（4），
故答案為（2）、（3）、（4）．
分析：根據(jù)題意，依次分析4個(gè)命題：對(duì)于（1）：y=f（x）的圖象與y=f（-x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，由圖象變化的規(guī)律分析如何由將y=f（x）得到f（x-1）的圖象，如何由y=f（-x）得到y(tǒng)=[-（x-1）]=f（-x+1）的圖象，進(jìn)而判斷可得（1）錯(cuò)誤；對(duì)于（2）：在f（2-x）=f（x）中，用換元法，令t=x-1，可得f（1-t）=f（1+t），分析可得（2）正確；對(duì)于（3）：在f（x-1）=f（x+1）中，令t=x-1，有f（t）=f（t+2），由周期函數(shù)的定義，分析可得（3）正確；對(duì)于（4）：在f（2-x）=-f（x）中，用換元法，令t=x-1，則f（1-t）=-f（1+t），分析可得，則（4）正確；綜合可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，涉及抽象函數(shù)的對(duì)稱問題，關(guān)鍵掌握函數(shù)關(guān)于直線、點(diǎn)對(duì)稱的規(guī)律與判斷方法．