Question

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)（，0），且與直線(xiàn)x=-相切，其中p＞0．
（I）求動(dòng)圓圓心C的軌跡的方程；
（II）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線(xiàn)OA和OB的傾斜角分別為α和β，當(dāng)α，β變化且α+β為定值θ（0＜θ＜π）時(shí)，證明直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)M為動(dòng)圓圓心，（，0）為記為F，過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)x=-的垂線(xiàn)，垂足為N，進(jìn)而可知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)F與定直線(xiàn)x=-的距離相等，進(jìn)而推斷點(diǎn)M的軌跡為拋物線(xiàn)，進(jìn)而根據(jù)拋物線(xiàn)性質(zhì)可得答案．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)其方程為y=kx+b，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理表示出y₁+y₂，y₁•y₂，分θ=和θ≠時(shí)，求得直線(xiàn)方程，進(jìn)而判斷直線(xiàn)AB恒過(guò)是否定點(diǎn)．
解答：解：（I）如圖，設(shè)M為動(dòng)圓圓心，（，0）為記為F，
過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)x=-的垂線(xiàn)，垂足為N，
由題意知：|MF|=|MN|，即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F與定直線(xiàn)x=-的距離相等，
由拋物線(xiàn)的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線(xiàn)，
其中F（，0）為焦點(diǎn)，x=-為準(zhǔn)線(xiàn)，
所以軌跡方程為y²=2px（P＞0）；

（II）如圖，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意得x₁≠x₂（否則α+β=π）且x₁，x₂≠0．
所以直線(xiàn)AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+b，顯然x₁=，x₂=．
將y=kx+b與y²=2px（p＞0）聯(lián)立消去x，得ky²-2py+2pb=0
由韋達(dá)定理知y₁+y₂=，y₁•y₂=①
（1）當(dāng)θ=時(shí)，即α+β=時(shí)，tanα•tanβ=1．
所以•，x₁x₂-y₁y₂=0，-y₁y₂=0．
所以y₁y₂=4p²
由①知：=4p²，所以b=2pk．
因此直線(xiàn)AB的方程可表示為y=kx+2Pk．
即k（x+2P）-y=0所以直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（-2p，0）
（2）當(dāng)θ≠時(shí)，由α+β=θ，得tanθ=tan（α+β）==
將①式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：tanθ=，所以b=+2pk．
此時(shí)，直線(xiàn)AB的方程可表示為y=kx++2pk．即k（x+2p）-（y-）=0．
所以直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（-2p，）．
所以由（1）（2）知，當(dāng)θ=時(shí)，直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（-2p，0），當(dāng)θ≠時(shí)直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（-2p，）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了求軌跡方程的問(wèn)題．涉及直線(xiàn)的拋物線(xiàn)的關(guān)系，常需要聯(lián)立方程根據(jù)韋達(dá)定理找到解決問(wèn)題的突破口．