Question

本題有(1)．(2)．(3)三個(gè)選做題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分．作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．

（1）(本小題滿分7分)選修4－2：矩陣與變換選做題

已知矩陣A=有一個(gè)屬于特征值1的特征向量.  

(Ⅰ) 求矩陣A；

(Ⅱ) 矩陣B=，點(diǎn)O(0,0)，M(2，-1)，N(0，2)，求在矩陣AB的對應(yīng)變換作用下所得到的的面積. 

（2）(本小題滿分7分)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知曲線的參數(shù)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程；（Ⅱ）判斷曲線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．

（3）(本小題滿分7分)選修4－5：不等式選講選做題

已知函數(shù)，不等式在上恒成立．

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）記的最大值為，若正實(shí)數(shù)滿足，求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）(Ⅰ)  (Ⅱ)8 （2）（Ⅰ）（Ⅱ）只有一個(gè)交點(diǎn)（3）（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（1）(Ⅰ)由已知得，所以     2分

解得 故A=.3分.

(Ⅱ)AB==，所以，，，     5分

即點(diǎn)O，M，N變成點(diǎn)O′(0，0)，M′(4，0)，N′(0，4)，

的面積為.                   7分

（2）（Ⅰ）由已知得                1分

消去參數(shù),得 ．                     3分

（Ⅱ）由得曲線的直角坐標(biāo)方程為,    4分

由 消去,得，              5分           

解得                   6分

故曲線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)．                          7分

（3）（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081312582059826477/SYS201308131259326698552620_DA.files/image025.png">，

所以.                2分

因?yàn)椴坏仁?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081312582059826477/SYS201308131259326698552620_DA.files/image027.png">在R上恒成立，

所以， 的取值范圍為.        3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

由柯西不等式得：，

所以.                                    5分

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，

的最大值為.       7分

考點(diǎn)：矩陣極坐標(biāo)及不等式性質(zhì)

點(diǎn)評：三選一的題目一般難度不大，解極坐標(biāo)問題常轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，利用關(guān)系式

，實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互相轉(zhuǎn)化，絕對值不等式的求解結(jié)合絕對值的幾何意義可使計(jì)算簡化