Question

已知二次函數(shù)f(x)=ax²+bx+c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(),且f(3)=2.

(1)求y=f(x)的表達(dá)式，并求出f(1),f(2)的值；

(2)數(shù)列{a_n}，{b_n}，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都滿足f(x)g(x)+a_nx+b_n=xⁿ+1,n∈N^*，其中g(shù)(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的一個(gè)函數(shù)，求數(shù)列{a_n},{b_n}的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)圓C_n:(x－a_n)²+(y－b_n)²=r_n²，若圓C_n與圓C_n+1外切，{r_n}是各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列.記S_n是前n個(gè)圓的面積之和，求(n∈N^*).

Answer 1

答案：
解析：

f(x)=x2－3x+2,x∈R，f(1)=0,f(2)=0；n=2n+1－1,bn=2－2n+1； 解：(1)由已知得f(x)=a(x－)2－(a≠0)，由f(3)=2得a=1. ∴f(x)=x2－3x+2,x∈R，f(1)=0,f(2)=0. (2)f(1)g(1)+an+bn=1n+1,∴an+bn=1. f(2)g(2)+2an+bn=2n+1,∴2an+bn=2n+1. 所以an=2n+1－1,bn=2－2n+1. (3)|CnCn+1|= =2n+1. 設(shè){rn}的比為q，則rn+rn+1=rn(1+q) =|CnCn+1|=2n+1. ∴rn+1(1+q)=2n+2,∴=2, ∴rn=,rn2=4n. ∴Sn=(4n－1), ∴.