Question

設(shè)h是一個(gè)正整數(shù)，證明（1+h）ⁿ≥1+nh，n是任意正整數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,推理和證明

分析：要證明（1+h）ⁿ≥1+nh，先證明n=1時(shí)，（1+h）ⁿ≥1+nh成立，再假設(shè)n=k時(shí)，（1+h）ⁿ≥1+nh成立，進(jìn)而證明出n=k+1時(shí)，（1+h）ⁿ≥1+nh也成立，即可得到對于任意正整數(shù)n：（1+h）ⁿ≥1+nh．

解答： 證明：將（1+h）ⁿ≥1+nh看成關(guān)于n的不等式，h為參數(shù)，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（�。┊�(dāng)n=1時(shí)，原不等式成立；
當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1+2h+h²，右邊=1+2h，
因?yàn)閔²≥0，所以左邊≥右邊，原不等式成立；
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即（1+h）^k≥1+kh，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
∵h(yuǎn)是一個(gè)正整數(shù)，
∴1+h＞0，于是在不等式（1+h）^k≥1+kh兩邊同乘以1+h得
（1+h）^k•（1+h）≥（1+kh）•（1+h）=1+（k+1）h+kh²≥1+（k+1）h，
所以（1+h）^k+1≥1+（k+1）h．即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
綜合（�。�（ⅱ）知，對一切正整數(shù)n，不等式都成立．

點(diǎn)評：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立