(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=(x2-3x+3)·ex的定義域為[-2,t](t>-2),設(shè)f(-2)=m,f(t)=n.

(1)試確定t的取值范圍,使得函數(shù)f(x)在[-2,t]上為單調(diào)函數(shù);

(2)求證:n>m;

(3)若t為自然數(shù),則當t取哪些值時,方程f(x)-m=0(m∈R)在[-2,t]上有三個不相等的實數(shù)根,并求出相應(yīng)的實數(shù)m的取值范圍.

解析:(1)因為f′(x)=(x2-3x+3)·ex+(2x-3)·ex=x(x-1)·ex,

由f′(x)>0⇒x>1或x<0;由f′(x)<0⇒0<x<1,

所以f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減,

欲使f(x)在[-2,t]上為單調(diào)函數(shù),則-2<t≤0.

(2)因為f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減,所以f(x)在x=1處取得極小值f(1)=e.

又f(-2)=<e,所以f(x)僅在x=-2處取得[-2,t]上的最小值f(-2),

從而當t>-2時,f(-2)<f(t),即m<n.

(3)由(1)知f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減,

故當t=0或t=1時,方程f(x)-m=0在[-2,t]上不可能有三個不等實根,

所以t≥2,且t∈N.

當t≥2,且t∈N時,方程f(x)-m=0在[-2,t]上有三個不等實根,

只需滿足m∈(max(f(-2),f(1)),min(f(0),f(t)))即可.

因為f(-2)=,f(0)=3,f(1)=e,f(2)=e2,且f(t)≥f(2)=e2>3=f(0),

因而f(-2)<f(1)<f(0)<f(2)≤f(t),

所以f(1)<m<f(0),即e<m<3,

即實數(shù)m的取值范圍是(e,3).

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•廣東模擬)(本小題滿分14分 已知函數(shù)f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

(I)化簡f(x)的表達式,并求f(x)的最小正周期;
(II)當x∈[0,
π
2
]  時,求函數(shù)f(x)
的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(本小題滿分14分)設(shè)橢圓C1的方程為(ab>0),曲線C2的方程為y=,且曲線C1C2在第一象限內(nèi)只有一個公共點P。(1)試用a表示點P的坐標;(2)設(shè)AB是橢圓C1的兩個焦點,當a變化時,求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域;(3)記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個。設(shè)g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積,試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達式。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2011年江西省撫州市教研室高二上學期期末數(shù)學理卷(A) 題型:解答題

(本小題滿分14分)
已知=2,點()在函數(shù)的圖像上,其中=.
(1)證明:數(shù)列}是等比數(shù)列;
(2)設(shè),求及數(shù)列{}的通項公式;
(3)記,求數(shù)列{}的前n項和,并證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2015屆山東省威海市高一上學期期末考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

 (本小題滿分14分)

某網(wǎng)店對一應(yīng)季商品過去20天的銷售價格及銷售量進行了監(jiān)測統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),第天()的銷售價格(單位:元)為,第天的銷售量為,已知該商品成本為每件25元.

(Ⅰ)寫出銷售額關(guān)于第天的函數(shù)關(guān)系式;

(Ⅱ)求該商品第7天的利潤;

(Ⅲ)該商品第幾天的利潤最大?并求出最大利潤.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年廣東省高三下學期第一次月考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

(本小題滿分14分)已知的圖像在點處的切線與直線平行.

⑴ 求,滿足的關(guān)系式;

⑵ 若上恒成立,求的取值范圍;

⑶ 證明:

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案