Question

14．已知函數(shù)f（x）=-（x+2）（x-m）（其中m＞-2），g（x）=2^x-2．
（1）命題p：f（x）≥0，命題q：g（x）＜0．，若p是q的充分非必要條件，求m的取值范圍；
（2）設命題p：?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0：命題q：?x∈（-1，0）．f（x）•g（x）＜0，若p∧q是真命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）≥0，g（x）＜0求解不等式，再由p是q的充分非必要條件可得兩不等式解集的關系，由集合端點值間的關系求得m的范圍．
（2）由于p∧q是真命題，可得p與q都是真命題．由于當x＞1時，g（x）＞0，又p是真命題，可得f（x）＜0．由f（1）＜0，可得m＜1．當-1＜x＜0時，g（x）＜0．由于q是真命題，則?x∈（-1，0），使得f（x）＞0，利用f（-1）＞0，可得m的取值范圍．

解答 解：（1）命題p：f（x）≥0，即-（x+2）（x-m）≥0，解得-2≤x≤m，
命題q：g（x）＜0，即2^x-2＜0，解得x＜1，
∵p是q的充分非必要條件，
∴m＜1，
故m的取值范圍為（-∞，1）；
（2）∵p∧q是真命題，∴p與q都是真命題．
當x＞1時，g（x）=2^x-2＞0，又p是真命題，則f（x）＜0．
f（1）=-（1+2）（1-m）＜0，解得m＜1．
當-1＜x＜0時，g（x）=2^x-2＜0．
∵q是真命題，則?x∈（-1，0），使得f（x）＞0，
∴f（-1）=-（-1+2）（-1-m）＞0，即m＞-1．
綜上所述：-1＜m＜1．

點評 本題綜合考查了二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、簡易邏輯的有關知識，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．