Question

如圖，已知正三棱柱ABC―A₁B₁C₁的各棱長(zhǎng)都為a，P為A₁B上的點(diǎn)。

 

（1）試確定的值，使得PC⊥AB；

   （2）若，求二面角P―AB―C的大小；

   （3）在（2）條件下，求C₁到平面PAC的距離。

Answer 1

解法一：（1）當(dāng)時(shí)，PC⊥AB

取AB的中點(diǎn)D′，連結(jié)CD′、PD′

∵△ABC為正三角形，  ∴CD′⊥AB。

當(dāng)P為A₁B的中點(diǎn)時(shí)，PD′//A₁A， ∵A₁A⊥底面ABC， ∴PD′⊥底面ABC，

∴PC⊥AB 

（2）當(dāng)時(shí)，過(guò)P作PD⊥AB于D，

如圖所示，則PD⊥底在ABC

過(guò)D作DE⊥AC于E，連結(jié)PE，則PE⊥AC

∴∠DEP為二面角P―AC―B的平面角。

又∵PD//A₁A， ∴， ∴

∴

又∵

∴    ∴∠PED=60°

即二面角P―AC―B的大小為60° 

（3）設(shè)C₁到面PAC的距離為d，則

∵PD//A₁A   ∴PD//平面A₁C  ∴DE即為P點(diǎn)到平面A₁C的距離。

又PE=

∴

∴

解得 

即C₁到平面PAC的距離為 

解法二：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，過(guò)A點(diǎn)與AB垂直的直線為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)―xyz，如圖所示，則B（a，0，0），A₁（0，0，a），C，

設(shè)

（1）由

即， ∴P為A₁B的中點(diǎn)。

即 時(shí)，PC⊥AB。

（2）當(dāng)

即

設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量n=

則

即

取

又平面ABC的一個(gè)法向量為n₀=（0，0，1）

∴

∴二面角P―AC―B的大小為180°－120°=60°

（3）設(shè)C₁到平面PAC的距離為d，

則

即C₁到平面PAC的距離為