Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=m，m∈N^*，an+1=

an 2 ，an為偶數(shù) an+1 2 ，an為奇數(shù)

，若a₁=2013，則a₂₀₁₃=______；若{a_n}中有且只有5個(gè)不同的數(shù)字，則m的不同取值共有______個(gè)．

Answer 1

①∵a₁=2013，an+1=

an 2 ，an為偶數(shù) an+1 2 ，an為奇數(shù)

，
∴a2=

2013+1

2

=1007，a3=

1007+1

2

=504，a4=

504

2

=252，
a5=

252

2

=126，a6=

126

2

=63，a7=

63+1

2

=32，a8=

32

2

=16，
a₉=

16

2

=8，a₁₀=

8

2

=4，a₁₁=

4

2

=2，a₁₂=

2

2

=1，a₁₃=

1+1

2

=1，
∴當(dāng)n≥12時(shí)，a_n=1．
∴a₂₀₁₃=1．
②當(dāng)m=1時(shí)，a₁=1，a2=

1+1

2

=1，…，a_n=1，
則{a_n}中只有1個(gè)不同的數(shù)字1，不成立，故m≠1；
當(dāng)m=2時(shí)，a₁=2，a2=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥2），
則{a_n}中只有2個(gè)不同的數(shù)字2和1，不成立，故m≠2；
當(dāng)m=3時(shí)，a₁=3，a₂=

3+1

2

=2，a3=

2

2

=1，…a_n=1（n≥3），
則{a_n}中只有3個(gè)不同的數(shù)字1，2，3，不成立，故m≠3；
當(dāng)m=4時(shí)，a₁=4，a₂=

4

2

=2，a3=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥3），
則{a_n}中只有3個(gè)不同的數(shù)字1，2，4，不成立，故m≠4；
當(dāng)m=5時(shí)，a₁=5，a₂=

5+1

2

=3，a3=

3+1

2

=2，a4=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥4），
則{a_n}中有4個(gè)不同的數(shù)字1，2，3，5，不成立，故m≠5；
當(dāng)m=6時(shí)，a₁=6，a₂=

6

2

=3，a3=

3+1

2

=2，a4=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥4），
則{a_n}中有4個(gè)不同的數(shù)字1，2，3，6，不成立，故m≠6；
當(dāng)m=7時(shí)，a₁=7，a₂=

7+1

2

=4，a₃=

4

2

=2，a4=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥4），
則{a_n}中有4個(gè)不同的數(shù)字1，2，4，7，不成立，故m≠7；
當(dāng)m=8時(shí)，a₁=8，a₂=

8

2

=4，a₃=

4

2

=2，a4=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥4），
則{a_n}中有4個(gè)不同的數(shù)字1，2，4，8，不成立，故m≠8；
當(dāng)m=9時(shí)，a₁=9，a₂=

9+1

2

=5，a₃=

5+1

2

=3，a₄=

3+1

2

=2，a₅=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥5），
則{a_n}中有5個(gè)不同的數(shù)字1，2，3，5，9，成立，故m=9；
當(dāng)m=10時(shí)，a₁=10，a₂=

10

2

=5，a₃=

5+1

2

=3，a₄=

3+1

2

=2，a₅=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥5），
則{a_n}中有5個(gè)不同的數(shù)字1，2，3，5，10，成立，故m=10；
當(dāng)m=11時(shí)，a₁=11，a₂=

11+1

2

=6，a₃=

6

2

=3，a₄=

3+1

2

=2，a₅=

2

2

=1，…a_n=1（n≥5），
則{a_n}中有5個(gè)不同的數(shù)字1，2，3，6，11，成立，故m=11；
當(dāng)m=12時(shí)，a₁=12，a₂=

12

2

=6，a₃=

6

2

=3，a₄=

3+1

2

=2，a₅=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥5），
則{a_n}中有5個(gè)不同的數(shù)字1，2，3，6，12，成立，故m=12；
當(dāng)m=13時(shí)，a₁=13，a₂=

13+1

2

=7，a₃=

7+1

2

=4，a₄=

4

2

=2，a₅=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥5），
則{a_n}中有5個(gè)不同的數(shù)字1，2，4，7，13，成立，故m=13；
當(dāng)m=14時(shí)，a₁=14，a₂=

14

2

=7，a₃=

7+1

2

=4，a₄=

4

2

=2，a₅=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥5），
則{a_n}中有5個(gè)不同的數(shù)字1，2，4，7，14，成立，故m=14；
當(dāng)m=15時(shí)，a₁=15，a₂=

15+1

2

=8，a₃=

8

2

=4，a₄=

4

2

=2，a₅=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥5），
則{a_n}中有5個(gè)不同的數(shù)字1，2，4，8，15，成立，故m=15；
當(dāng)m=16時(shí)，a₁=16，a₂=

16

2

=8，a₃=

8

2

=4，a₄=

4

2

=2，a₅=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥5），
則{a_n}中有5個(gè)不同的數(shù)字1，2，4，8，16，成立，故m=16；
當(dāng)m=17時(shí)，a₁=17，a₂=

17+1

2

=9，a₃=

9+1

2

=5，a₄=

5+1

2

=3，a₅=

3+1

2

=2，a6=

2

2

=1…，a_n=1（n≥6），
則{a_n}中有6個(gè)不同的數(shù)字1，2，3，5，9，17，不成立，故m≠17；
當(dāng)n≥17時(shí)，{a_n}中有6個(gè)或6個(gè)以上不同的數(shù)字．
∴m的不同取值共有8個(gè)．
故答案為：1，8．