Question

已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為A，B，且四邊形F₁AF₂B是邊長(zhǎng)為2的正方形．
（I）求橢圓方程；
（II）若C，D分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點(diǎn)P．求證：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)求出a、b的值，從而寫出標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)M（2，y），寫出直線CM的方程，并把它代入橢圓的方程，可求P的坐標(biāo)，進(jìn)而得到向量OM、OP的坐標(biāo)，
計(jì)算這2個(gè)向量坐標(biāo)的數(shù)量積，得出定值．
解答：解：（1）∵左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為A，B，且四邊形F₁AF₂B是邊長(zhǎng)為2的正方形，
∴a=2，b=c，a²=b²+c²，∴b²=2，∴橢圓方程為．（4分）
（2）C（-2，0），D（2，0），設(shè)M（2，y），P（x₁，y₁），
則．
直線CM：y-0=（x-2），即 ．（6分）
代入橢圓x²+2y²=4，得，故次方程的兩個(gè)根分別為-2和x₁，（8分）
由韋達(dá)定理可得x₁-2=，∴，∴．
∴，（10分）
∴+==4 （定值）．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法、2個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．