Question

設(shè)實數(shù)x，y滿足約束條件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=

x

a

+

y

b

(a＞0，b＞0)的最大值為1，則

a+b

的最小值為

3

．

Answer 1

分析：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識先求出a，b的關(guān)系，然后利用基本不等式求a+b的最值，進而求

a+b

的最小值．

解答：解：由z=

x

a

+

y

b

(a＞0，b＞0)得y=-

b

a

x+bz，
作出可行域如圖：
∵a＞0，b＞0，
∴直線y=-

b

a

x+bz的斜率為負，且截距最大時，z也最大．
平移直線y=-

b

a

x+bz，由圖象可知當(dāng)y=-

b

a

x+bz經(jīng)過點B時，
直線的截距最大，此時z也最大．
由

2x-y+2=0 8x-y-4=0

，解得

x=1 y=4

，即B（1，4）．
此時z=

1

a

+

4

b

=1，
則a+b=（a+b）（

1

a

+

4

b

）=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a 4a b

=5+2×2=9，
當(dāng)且僅當(dāng)

b

a

=

4a

b

，即b=2a時取=號，
故a+b的最小值為9，即

a+b

的最小值為

9

=3，
故答案為：3．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．