Question

已知函數(shù)f（x）=

x

x+3

，構(gòu)造如下函數(shù)序列f_n（x）：f_n（x）=f[f_n-1（x）]（x∈N^*，且n≥2），其中f₁（x）=f（x），（x＞0），則f₃（x）=

x

13x+27

，函數(shù)f_n（x）=

x

3n-1 2 x+3n

．

Answer 1

分析：分別計(jì)算出f₁（x），f₂（x），f₃（x），…，分析不等式的構(gòu)成，尋找規(guī)律，進(jìn)行歸納．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=

x

x+3

，
f₁（x）=f（x）=

x

x+3

，
f₂（x）=f（f₁（x））=

x x+3

x x+3 +3

=

x

4x+9

，
f₃（x）=f（f₂（x））=

x

13x+27

=

x

33-1 2 x+33

，
f₄（x）=f（f₃（x））=

x 13x+27

x 13x+27 +3

=

x

34-1 2 x+34

，
…
所給的函數(shù)式的分子不變都是x，
而分母是由兩部分的和組成，
第一部分的系數(shù)分別是1，4，13，40…

3n-1

2

，
第二部分的數(shù)分別是3，9，27，81…3ⁿ
∴f_n（x）=f（f_n-1（x））=

x

3n-1 2 x+3n

．
故答案為：

x

13x+27

.

x

3n-1 2 x+3n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，實(shí)際上可看作給出一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式．