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已知函數f(x)的定義域是x≠0的一切實數，對定義域內的任意x1、x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且當x＞1時f(x)＞0，f(2)＝1，

(1)求證：f(x)是偶函數；

(2)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數；

(3)解不等式f(2x2－1)＜2．

答案：
解析：

　　(1)證明：令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，

　　∴f(1)＝0．令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝0，

　　∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．

　　∴f(x)是偶函數;

　　(2)證明：設x2＞x1＞0，則

　　f(x2)－f(x1)＝f(x1·)－f(x1)＝f(x1)＋f()－f(x1)＝f()．

　　∵x2＞x1＞0，∴＞1．∴f()＞0，即f(x2)－f(x1)＞0．∴f(x2)＞f(x1)．

　　∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數;

　　(3)解：∵f(2)＝1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2．

　　∵f(x)是偶函數，∴不等式f(2x2－1)＜2可化為f(|2x2－1|)＜f(4)．

　　又∵函數在(0，＋∞)上是增函數，

　　∴|2x2－1|＜4，解得－＜x＜，即不等式的解集為(－，)．


提示：

本題是抽象函數問題，解決此類問題的關鍵是利用好條件中的函數關系式．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
1
3
x3+
a-3
2
x2+(a2-3a)x-2a．
（I）如果對任意x∈[1，2]，f′（x）＞a2恒成立，求實數a的取值范圍；
（II）設函數f（x）的兩個極值點分別為x1，x2判斷下列三個代數式：①x1+x2+a，②
x
2
1
+
x
2
2
+a2，③
x
3
1
+
x
3
2
+a3
中有幾個為定值？并且是定值請求出；若不是定值，請把不是定值的表示為函數g（a），并求出g（a）的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

問題1：已知函數f(x)=
x
1+x
，則f(
1
10
)+f(
1
9
)+…+f(
1
2
)+f(1)+f(2)+…+f（9）+f（10）=
19
2
19
2
．
我們若把每一個函數值計算出，再求和，對函數值個數較少時是常用方法，但函數值個數較多時，運算就較繁鎖．觀察和式，我們發(fā)現f(
1
2
)+f(2)、…、f(
1
9
)+f(9)、f(
1
10
)+f(10)可一般表示為f(
1
x
)+f(x)=
1
x
1+
1
x
+
x
1+x
=
1
1+x
+
x
1+x
=
1+x
1+x
=1為定值，有此規(guī)律從而很方便求和，請求出上述結果，并用此方法求解下面問題：
問題2：已知函數f(x)=
1
2x+
2
，求f（-2007）+f（-2006）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2007）+f（2008）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點，橫坐標為
1
2
的點P是M，N的中點．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)（n∈N*，n≥2），求
lim
n→∞
4Sn-9Sn
4Sn+1+9Sn+1
的值；
（3）在（2）的條件下，若an=
1
6
，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn為數列{an}的前n項和，若Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
x+1-a
a-x
(x≠a)
（1）當f（x）的定義域為[a+
1
2
，a+1]時，求f（x）的值域；
（2）試問對定義域內的任意x，f（2a-x）+f（x）的值是否為一個定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由；
（3）設函數g（x）=x2+|（x-a）f（x）|，若
1
2
≤a≤
3
2
，求g（x）的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•嘉定區(qū)一模）（理）已知函數f(x)=log2
2
x
1-x
，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是f（x）圖象上兩點．
（1）若x1+x2=1，求證：y1+y2為定值；
（2）設Tn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求Tn關于n的解析式；
（3）對（2）中的Tn，設數列{an}滿足a1=2，當n≥2時，an=4Tn+2，問是否存在角a，使不等式(1-
1
a1
)(1-
1
a2
)…(1-
1
an
)＜
sinα
2n+1
對一切n∈N*都成立？若存在，求出角α的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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